Questão 78

FUVEST 2010

Matemática

(FUVEST - 2010 - 1 FASE ) No plano cartesiano x0y, a reta de equação x + y = 2 é tangente à circunferência C no ponto (0, 2).

Além disso, o ponto (1, 0) pertence a C. Então, o raio de C é igual a

Gabarito:

Resolução:

No plano cartesiano, plotamos a reta de equação $y=-x+2$ e o ponto A (1,0). Desenhamos a circunferência que tangencia a reta em questão e passa pelo ponto A.

Sabemos que o centro $C$ da circunferência está contido na reta perpendicular à reta tangente à circunferência, no ponto de tangência. Essa reta possui o mesmo coeficiente linear da reta tangente e coeficiente angular igual a $1$ . A equação dessa reta é $y = x+2$ e está representada no desenho através da reta vermelha.

Aplicamos Teorema de Pitágoras para encontrarmos a medida do segmento de reta $overline{AB}$ :

$egin{aligned} overline{AB}^2=overline{OA}^2+overline{OB}^2 \ overline{AB}^2= 1+4: \ overline{AB} =sqrt{5} end{aligned}$

Do triângulo $Delta BOA$ , notamos que

$sen(alpha)= frac{overline{OA}}{overline{AB}}: Rightarrow :frac{1}{sqrt{5}}$

$cos(alpha)= frac{overline{OB}}{overline{AB}}: Rightarrow :frac{2}{sqrt{5}}$

Do triângulo $Delta CMB$ temos que:

$egin{aligned} sen( 45^{circ}-alpha)= frac{overline{MB}}{overline{BC}}\ \ sen( 45^{circ}-alpha)= frac{frac{sqrt{5}}{2}}{r} \ \ sen( 45^{circ}-alpha)=frac{sqrt{5}}{2r} end{aligned}$

Aplicando a fórmula do seno da diferença de dois ângulos $sen(a-b)= sen(a)cos(b)-sen(b)cos(a)$ :

$sen(45^{circ})cos(alpha) -sen(alpha)cos(45^{circ}) = frac{sqrt{5}}{2r}$

$frac{2}{sqrt{5}}.frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}.frac{1}{sqrt{5}}= frac{sqrt{5}}{2r}$

$frac{sqrt{2}}{sqrt{5}}-frac{sqrt{2}}{2sqrt{5}}= frac{sqrt{5}}{2r}$

$frac{sqrt{2}}{2sqrt{5}}= frac{sqrt{5}}{2r}$

$r=frac{sqrt{5} . sqrt{5}}{sqrt{2}}: Rightarrow : frac{5}{sqrt{2}}: Rightarrow : frac{5sqrt{2}}{2}$

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