Questão 28

FUVEST 2011

Matemática

(FUVEST - 2011) No plano cartesiano, os pontos (0, 3) e (-1, 0) pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de centro em (-1/2, 4) é tangente a C no ponto (0, 3). Então, o raio de C vale

Gabarito:

Resolução:

Por serem circunferências tangentes, os centros e pontos de tangências estão alinhados. Dessa forma, o centro O da circunferência C pertence à reta r, que passa pelo pelos pontos $(0,3)$ e $(frac{-1}{2},4)$ . Obtermos dessa forma uma equação de r:

$mr=frac{4-3}{-frac{1}{2}-0}$

$mr=2$

$y-3=-2(x-0) herefore y=-2x+3$

Portanto, $O:(x,-2x+3)$

Sendo O equidistante dos pontos $(0,3)$ e $(-1,0)$ , temos:

$sqrt{(x-0)^{2}+(-2x+3-3)^{2}}=sqrt{(x+1)^{2}+(-2x+3-0)^{2}}$

$x^{2}+4x^{2}=x^{2}+2x+1+4x^{2}-12x+9$

$10x=10$

$x=1$

Dessa forma, $O=(1,1)$ . A distância entre os pontos $(0,3)$ e $O(1,1)$ é igual a medida R do raio de C. Assim, $R=sqrt{(1-0)^{2}+(1-3)^{2}}$

$R=sqrt{5}$

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