Questão 59

FUVEST 2012

Matemática

(FUVEST - 2012) O segmento é lado de um hexágono regular de área. O ponto P pertence à mediatriz de AB de tal modo que a área do triângulo PAB vale. Então, a distância de P ao segmento é igual a:

Gabarito:

Resolução:

1) Interpretando o que foi dito no enunciado:

2) Foi dito que trata-se de um hexágono regular de área.

A área de um hexágono regular será igual a 6 vezes a área do triângulo equilátero. Logo,

$sqrt{3} = frac{3L^2sqrt{3}}{2}$

2.1) Desenvolvendo a equação encontrada:

$1 = frac{3L^2}{2}$

$L^2 = frac{2}{3}$

$L = sqrt{frac{2}{3}}$

$L = frac{sqrt{6}}{3}$

2) Com isso, sabendo que a área do triângulo PAB é em que a base é AB e a altura é a distância de AB até p, logo:

$sqrt{2} = frac{h cdot frac{sqrt{6}}{3}}{2}$

3) Desenvolvendo:

$2sqrt{2} = h cdot frac{sqrt{6}}{3}$

$2sqrt{2} cdot frac{3}{sqrt{6}}= h$

$h = frac{6}{sqrt{3}}$

$h = frac{6sqrt{3}}{3}$

$oxed{h = 2sqrt{3}}$

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