Questão 64

FUVEST 2012

Matemática

(FUVEST - 2012) Considere a matriz

em que a é um número real. Sabendo que A admite inversa A^-1 cuja primeira coluna é , a soma dos elementos da diagonal principal de A^-1 é igual a

Gabarito: 5

Resolução:

Os elementos de uma matriz inversa $A^{-1}$ pode ser encontrado pela expressão, $A^{-1} = frac{C_A^{t}}{det(A)}$ , onde $C_A^t$ é a tranposta da matriz de cofatores de $A$ .

Para o caso da matriz dada na questão, temos que:

$A^{-1} = frac {egin{pmatrix} a+1 & -2a-1\1-a & a end{pmatrix}}{acdot(a+1) - (a-1)(2a+1)}$

$A^{-1} = frac {egin{pmatrix} a+1 & -2a-1\ 1-a & a end{pmatrix}}{a^2+a - (2a^2 -a -1)}$

$A^{-1} = frac {egin{pmatrix} a+1 & -2a-1\ 1-a & a end{pmatrix}}{-a^2+2a+1}$

O enunciado da questão nos diz que $A^{-1}$ é tal que a sua primeira coluna é $egin{bmatrix} 2a-1\ -1 end{bmatrix}$ , igualando a expressão encontrada para $A^{-1}$ , temos que :

$left{egin{matrix} 2a-1 = frac{a+1}{1+2a-a^2} \\ -1 = frac{1-a}{1+2a-a^2} end{matrix} ight.$

Desenvolvendo as expressões,

$left{egin{matrix} (1-a)(1+2a-a^2) = a+ 1 \\ a^2-2a-1 = 1-aend{matrix} ight.$

Da segunda expressão, tiramos que $a^2 - a -2 = 0 ightarrow a = -1$ ou $a = 2$

Substituindo esses valores na primeira expressão, vemos que apenas $a = 2$ é solução.

Utiizando esse valor na expressão para $A^{-1}$ , temos:

$A^{-1} = frac {egin{pmatrix} 3 & -5\ -1 & 2 end{pmatrix}}{-4+4+1}$

$A^{-1} = {egin{pmatrix} 3 & -5\ -1 & 2 end{pmatrix}}$

Logo a soma dos termos da diagonal de $A^{-1}$ é $3+2 = 5$

Portanto, a alternativa correta é a LETRA A.

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