Questão 60

FUVEST 2012

Matemática

(FUVEST - 2012) O número real , com satisfaz a equação

Então, vale

1/3

2/3

7/9

8/9

10/9

Gabarito: 10/9

Resolução:

Utilizando o fato de que $log(a) + log(b) = log(acdot b)$ , podemos resumir a expressão em :

$log_3[(1-cosx)(1+cosx)] = log_3(1^2-cos^2x) = -2$

Contudo, sabemos da relação fundamental da trigonometria que $1^2-cos^2x = sen^2x$ , portanto:

$log_3(1^2-cos^2x) = log_3(sen^2x) = -2$

$sen^2x = 3^{-2} ightarrow sen = pm frac{1}{3}$

Como a questão nos diz que , temos que $senx > 0 ightarrow senx = frac{1}{3}$

Agora para obter aquilo que é pedido pela questão basta calcular o valor de $cos2x$ que pode ser obtido em função do $senx$ pela expressão abaixo.

$cos2x = 1-2sen^2x$

$cos2x = 1-2left ( frac{1}{3} ight )^2 = 1 - frac{2}{9}$

$cos2x = frac{7}{9}$

Com isso, temos que $cos2x + senx = frac{7}{9} + frac{1}{3} = frac{10}{9}$ .

Portanto, a alternativa correta é a LETRA E.

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