Questão 4

FUVEST 2012

Matemática

(FUVEST - 2012)

A base do tetraedro PABCD é o quadrado ABCD de lado L, contido no plano α. Sabe-se que a projeção ortogonal do vértice P no plano α está no semiplano de α determinado pela reta BC e que não contém o lado AD. Além disso, a face DPC é um triângulo isósceles de base BC Cuja altura forma, com o plano α, um ângulo θ, em que 0 < θ < π/2. Sendo PB = $L frac {sqrt 2}2$ , determine, em função de L e θ,

a) o volume do tetraedro PABCD;

b) a altura do triângulo APB relativa ao lado AB;

c) a altura do triângulo APD relativa ao lado AD.

Gabarito:

Resolução:

RESOLVENDO A LETRA (A):

Sabemos que o volume $V$ de uma pirâmide é:

$V= frac{A_bcdot h}{3}$

Já temos a área da base e precisamos apenas da altura. Para encontrar a altura temos que perceber que:

Onde $M$ é ponto médio de $BC$ .

A altura é $overline{PQ}$ e percebemos que $sin{( heta)} = frac{PQ}{MP}$ então devemos encontrar $MP$ para podermos escrever $PQ$ em função de $heta$ e $l$ .

Fazendo pitágoras em $MPB$ :

$(frac{lsqrt{2}}{2})^2 = (frac{l}{2})^2 + MP^2$

$frac{2l^2}{4} = frac{l^2}{4} + MP^2$

$MP = frac{l}{2}$

Agora podemos encontrar $PQ$ em função de $heta$ e $l$ da seguinte forma:

$sin{( heta)} = frac{PQ}{frac{l}{2}}$

$sin{( heta)} cdot frac{l}{2}= PQ$

Substituindo na fórmula do volume:

$V= frac{A_bcdot h}{3}$

$V= frac{l^2}{3} cdot frac{sin{ heta}cdot l}{2}$

$V= frac{l^3 cdot sin{ heta}}{6}$

RESOLVENDO A LETRA (B):

Fazendo o desenho das informações a questão nos dá:

Podemos perceber então que basta aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo PQR:

$PR^2 = (frac{l}{2})^2 + (frac{l cdot sin{( heta)}}{2})^2$

$PR^2 = frac{l^2}{4} + frac{l^2 cdot sin^2{( heta)}}{4}$

$PR^2 = frac{l^2}{4}(1 + sin^2{( heta)})$

$PR = frac{l}{2}sqrt{1 + sin^2{( heta)}}$

RESOLVENDO A LETRA (C):

Podemos perceber que como já temos $overline{PQ}$ e $overline{NM}$ , podemos encontrar $overline{NP}$ por teorema de Pitágoras em $NPQ$ , basta encontrarmos $overline{MQ}$ .