Questão 1

FUVEST 2012

Matemática

(FUVEST - 2012) (2ª fase) O polinômio p(x)=x⁴+ax³+bx²+cx-8, em que a,b, c são números reais, tem o número complexo 1+i como raiz, bem como duas raízes simétricas.

a) Determine a,b,c e as raízes de p(x).
b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de p(x) e determine todos os polinômios com coeficientes reais, de menor grau, que possuam esses novos valores como raízes.

Gabarito:

Resolução:

A) Pelo Teorema das raízes complexas, $1-i$ também é raiz, pois a,b,c,d são reais.

Chamemos as raizes simetricas de $r$ e $-r$

Por Girard, tiramos que :

$-8 = -(1+i)(1-i)r^2 ightarrow r^2 = 4 ightarrow r = 2$

$-a = 1+i + 1 -i + r - r = 2 ightarrow a= -2$

$b = 2cdot-2 + (i+1 + 1 -i)( 2 -2 ) (1+i)(1-i) = -4 + 2 ightarrow b =-2$

$c = (1+i)(1-i)(2-2) + 2cdot-2cdot(1+i+1-i) = - 8 ightarrow c = -8$

Portanto, $(a,b,c) = (-2,-2,-8)$ e as raizes são $(1+i,1-i,2,-2)$

B) Subtraindo, temos que as raizes passam a ser $(+i,-i,1,-3)$

Portanto, o grupo de polinominos de menor grau e coeficientes reais que possui esse valores como raiz é :

$p(x) = a(x+i)(x-i)(x-1)(x+3)$ , onde $a$ é um valor real não nulo.

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