Questão 3

FUVEST 2012

Matemática

(FUVEST 2012)

a) Dez meninas e seis meninos participarão de um torneio de tênis infantil. De quantas maneiras distintas essas 16 crianças podem ser separadas nos grupos A, B, C e D, cada um deles com 4 jogadores, sabendo que os grupos A e C serão formados apenas por meninas e o grupo B, apenas por meninos?

b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase semifinal terá os jogos entre Maria e João e entre Marta e José. Os vencedores de cada um dos jogos farão a final. Dado que a probabilidade de um menino ganhar de uma menina é 3/5, calcule a probabilidade de uma menina vencer o torneio.

Gabarito:

Resolução:

ITEM A)

Para os grupos A e C deveremos escolher 4 meninas e a ordem não importa, logo:

$n_{A} = C_{10,4} = 210$

Como já escolhemos 4 mulheres, então sobram 6 para escolher no grupo C

$n_{C} = C_{6,4} = 15$

Para escolher os homens para o grupo B:

$n_{B} = C_{6,4} = 15$

Os 4 integrantes do grupo D - 2 mulheres e 2 homens - já são automaticamente escolhidos. Logo

$N_{Total} = {color{red}210}cdot{color{blue}15}cdot{color{green}15} = 47250 , , possibilidades$

ITEM B)

Para resolver esse item, podemos fazer de 2 formas

MÉTODO 1:

Para que uma mulher ganhe, teremos que ao menos 1 mulher avance à final e ganhe

$P = ({color{red}frac{3}{5}cdotfrac{2}{5}+frac{2}{5}cdotfrac{3}{5}})cdot{color{blue}frac{2}{5}} + {color{Magenta}frac{2}{5}cdotfrac{2}{5}}$

Em VERMELHO está a probabilidade de uma mulher ganhar em somente um dos jogos e perder no outro, logo a final será HOMEM x MULHER e, teremos uma probabilidade de 2/5 de uma mulher ganhar a final destacada em AZUL.

Em ROSA temos a probabilidade de as 2 mulheres ganharem na semifinal. Logo o torneio já será vencido por uma mulher automaticamente.

$herefore P = frac{44}{125}$

MÉTODO 2:

Calcularemos a probabilidade de um homem ganhar e daí a probabilidade de uma mulher ganhar será o complementar disso:

Analogamente ao que foi feito no Método 1

$ar{P} = ({color{red}frac{3}{5}cdotfrac{2}{5}+frac{2}{5}cdotfrac{3}{5}})cdot{color{blue}frac{3}{5}} + {color{Magenta}frac{3}{5}cdotfrac{3}{5}}$

$herefore P = 1 - ar{P} = 1- frac{81}{125} = frac{44}{125}$

Dúvidas ou sugestões? Comentem !!!

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