Questão 2

FUVEST 2012

Matemática

(FUVEST - 2012) (2 fase)

No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento do lado BC mede √15/5, o ângulo interno de vértice C mede α, e o ângulo interno de vértice B mede α/2 . Sabe-se, também, que 2cos(2α)+3cosα+1=0.

Nessas condições, calcule:
a) o valor de sen α;
b) o comprimento do lado AC.

Gabarito:

Resolução:

A) $2cos(2alpha) + 3cosalpha + 1=0$ , usando o fato que $cos(2alpha) = 2 cos^2alpha -1$ , temos que :

$4cos^2alpha + 3cosalpha - 1=0$

$cosalpha = -1$ ou $cosalpha =frac{1}{4}$ , como $alpha$ pertence a um triangulo, $cosalpha =frac{1}{4}$ .

Pela relação fundamental, $senalpha = sqrt{1 - cos^2alpha} = sqrt{frac{15}{16}}$

$senalpha = frac{sqrt15}{4}$

B) Pela Lei dos Senos:

$frac{AC}{BC} = frac{sen{frac{alpha}{2}}}{sen(frac{4pi-3alpha}{2})}$

$frac{AC}{BC} = frac{sen{frac{alpha}{2}}}{sen(frac{3alpha}{2})} = frac{sen{frac{alpha}{2}}}{3sen(frac{alpha}{2})-4sen^3(frac{alpha}{2})}$

$frac{AC}{BC} = frac{1}{3-4sen^2(frac{alpha}{2})} = frac{1}{1+2cosalpha}$

$frac{AC}{BC} = frac{4}{6} ightarrow AC = frac{sqrt15}{5}cdotfrac{2}{3}$

$AC = frac{2sqrt15}{15}$

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