Questão 6

FUVEST 2012

Matemática

(FUVEST 2012) (2 fase)

Na figura, a circunferência de centro O é tangente à reta CD no ponto D, o qual pertence à reta AO. Além disso, A e B são pontos da circunferência, AB=6√3 e BC=2√3. Nessas condições, determine

a) a medida do segmento CD;

b) o raio da circunferência;

c) a área do triângulo AOB;

d) a área da região hachurada na figura.

Gabarito:

Resolução:

A) Sabemos que:

$BCcdot AC = CD^2 ightarrow 2sqrt3 cdot 8sqrt3 = DC^2$

$DC = 4sqrt3$

B) $AC^2 = AD^2 +CD^2$

$(2R)^2 = (8sqrt3)^2-(4sqrt3)^2 = 48cdot3$

$R^2 = 12cdot 3 ightarrow R = 6$

C) A area pode ser calculada ao traçar a altura em relação a $AB$ , que por conta do triangulo ser equilatero, divide o lado no meio.Com isso, teremos:

$h = sqrt{R^2 - frac{AB}{2}} = sqrt{36-27}$

$h = 3$

Com isso, $A_{ABO} = frac{ABcdot 3}{2} = 9sqrt3$

D) A area hachurada é igual a um setor da circunferencia menos a area do item c), portanto precisamos apenas descobrir o tamanho do setor.

Como a razão $frac{h}{R} =frac{3}{6}= cos{left( frac{ heta}{2} ight )} ightarrow heta = 120^{circ}$ .

Portanto $A = frac{6^2pi}{3} - 9sqrt3 = 12pi - 9sqrt3$

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