Questão 2
FUVEST 2013
(FUVEST - 2013) Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horário. A partir de cada vértice atingido ao longo do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por A', B', C' e D', de modo que os novos segmentos sejam, então, ,
,
, e
. Dado que AB = 4 e que a distância de D à reta determinada por A e B é 3, calcule a área do
a) paralelogramo ABCD;
b) triângulo BB'C';
c) quadrilátero A'B'C'D'.
Gabarito:
Resolução:
a) A altura referente a AB é , portanto a área ABCD é dada por 4 x 3 = 12.
Para os itens b e c, tracemos retas paralelas por A', B', C', e D' em relação a AB, BC, CD e DA, respectivamente e prolongue as retas AB, BC, CD e DA:
É de relevância que, como AA' = AD = BC = CC' e BB' = AB = CD = DD', as paralelas e os prolongamentos determinam nove paralelogramos congruentes, incluindo ABCD.
Ainda, por simetria, e
.
b) Temos
c) Denotemos por S as áreas: