Questão 3

FUVEST 2013

Matemática

(FUVEST - 2013) Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em um plano vertical, perpendicular ao plano do chão. Na figura, os pontos, O, P₁e P₂ representam, respectivamente, a articulação de um dos braços com a base, a articulação dos dois braços e a extremidade livre do guindaste. O braço ܱܲ $overline{OP_{1}}$ tem comprimento 6 e o braço ܲ $overline{P_{1}P_{2}}$ tem comprimento 2. Num dado momento, a altura de ܲP₂ é 2, P₂ está a uma altura menor do que P₁ e a distância de O a P₂ é 2√10. Sendo ܳQ o pé da perpendicular de P₂ ao plano do chão, determine

a) o seno e o cosseno do ângulo P₂ÔQ entre a reta $overline{OP_{2}}$ e o plano do chão;

b) a medida do ângulo $Ohat{P_{1}}P_{2}$ entre os braços do guindaste;

c) o seno do ângulo P₁ÔQ entre o braço $overline{OP_{1}}$ e o plano do chão.

Gabarito:

Resolução:

Fazendo Pitágoras:

$(2sqrt{10})^{2} = 2^{2} + 6^{2}$

Portanto, conclui-se que o ângulo OP₁P₂é retângulo.

Como P₂P₁ = 2 e no instante analisando P₂Q = 2, P₂equidista de OP₁e OQ, ou seja, pertence à bissetris do ângulo $P_{1}hat{O}Q$ .

Se o ângulo $P_{1}hat{O}P_{2} = heta$ , então $P_{2}hat{O}Q = heta$ .

a) $sen(P_{2}hat{O}Q) = sen heta = sen(P_{1}hat{O}P_{2}) = frac{P_{1}P_{2}}{OP_{2}}$

$sen heta = frac{2}{2sqrt{10}} = frac{sqrt{10}}{10}$

Analogamente:

$cos(P_{2}hat{O}Q) = cos heta = cos(P_{1}hat{O}P_{2}) = frac{OP_{1}}{OP_{2}}$

$cos heta = frac{6}{2sqrt{10}} = frac{3sqrt{10}}{10}$

b) $Ohat{P_{1}}P_{2} = 90^{circ}$

c) $sen (P_{1}hat{O}Q) = sen(2 heta)$

$sen 2 heta = 2 sen heta cdot cos heta$

$= 2 cdot frac{sqrt{10}}{10} cdot frac{3sqrt{10}}{10} = frac{3}{5}$

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