Questão 5

FUVEST 2013

Matemática

(FUVEST - 2013) No paralelepípedo reto retângulo ABCDEFGH da figura, tem-se AB = 2, AD = 3 e AE = 4.

a) Qual é a área do triângulo ABD?

b) Qual é o volume do tetraedro ABDE?

c) Qual é a área do triângulo BDE?

d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo do ponto A,quanto vale AQ?

Gabarito:

Resolução:

a) A área do triângulo ABD é (2x3)/2 = 3.

b) O volume do tetraedro ABDE é dado por:

$frac{1}{3} cdot 3 cdot 4 = 4$

c) Aplicando Pitágoras:

$ED^{2} = 3^{2} + 4^{2}$

$oxed {ED = 5}$

$DB^{2} = 2^{2}+3^{2}$

$oxed{ DB = sqrt{13}}$

$EB^{2} = 2^{2} + 4^{2}$

$oxed{EB = 2sqrt{15}}$

Temos o seguinte triângulo:

$Dhat{B}E = heta$

Aplicando a lei dos cossenos:

$DE^{2} + DB^{2} + EB^{2} - 2 cdot DB cdot EB cdot cos heta$

$25 = 13 + 20 - 2 cdot sqrt{13} cdot 2sqrt{5} cdot cos heta$

$oxed{cos heta = frac{2sqrt{65}}{65}}$

$oxed{sen heta = sqrt{1-cos^{2} heta} = sqrt{frac{61}{65}}}$

Assim, a área de BDE é $frac{1}{2} cdot EB cdot DB cdot sen heta$

$oxed {A = frac{1}{2} cdot EB cdot DB cdot frac{sqrt{61}}{65} = sqrt{61}}$

d) AQ é altura de ABDE em relação a A. Assim:

$frac{1}{3} cdot S_{BDE} cdot AQ = V_{ABDE} = 4$

$frac{1}{3} cdot sqrt{61} cdot AQ = 4 Rightarrow AQ = frac{12sqrt{61}}{61}$

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