Questão 6

FUVEST 2013

Matemática

(FUVEST - 2013) Considere o polinômio p(x) = x⁴ +1.

a) Ache todas as raízes complexas de p(x).

b) Escreva p(x) como produto de dois polinômios de segundo grau, com coeficientes reais.

Gabarito:

Resolução:

a) $p(x) = 0$

$x^{4} + 1 = 0$

$x^{4} = - 1$

$oxed {x^{4}= -1 = (cos 180^{circ} +isen 180^{circ})}$

Fazendo a 2ª Lei de Moivre:

$alpha _{1} = sqrt[4]{1} cis (frac{180^{circ}}{4}) = 1 cdot cis (45^{circ})$

Aplicando uma notação algébrica:

$alpha _{1} = (frac{sqrt{2}}{2}+ifrac{sqrt{2}}{2})$

Podemos utilizar a simetria da figura no ciclo:

$alpha _{2} = -frac{sqrt{2}}{2} + frac{sqrt{2}}{2}i$

$alpha _{3} = -frac{sqrt{2}}{2} - frac{sqrt{2}}{2}i$

$alpha _{4} = frac{sqrt{2}}{2} - frac{sqrt{2}}{2}i$

b) Vamos fatorar o polinômio em coeficientes reais.

$p(x) = (x^{2}+1)^{2} - 2x^{2}$

$p(x) = ((x^{2}+1)+sqrt{2}x) cdot ((x^{2}+1)-sqrt{2}x)$

$p(x) = (x^{2}+sqrt{2}x+1)cdot (x^{2}-sqrt{2}x + 1)$

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