Questão 85

FUVEST 2017

Matemática

(FUVEST - 2017 - 1a fase)

Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimento AB = 4 e BC = 2. Sejam M o ponto médio do lado BC e N o ponto médio do lado CD. Os segmentos AM e AC interceptam o segmento BN nos pontos E e F, respectivamente.

A área do triângulo AEF é igual a

Gabarito:

Resolução:

Para encontrar a área $A$ , podemos subtrair a área do triângulo ABE da área do triângulo ABF.

Primeiro iremos encontrar a altura $h$ do triangulo ABE.

O triângulo ABE é semelhante ao triângulo CFN. Logo, temos que:

$frac{h}{4} = frac{2-h}{2}$

$2h = 8 - 4h$

$h = frac{8}{6} = frac{4}{3}$

Agora precisamos encontrar a altura x do triângulo ABE.

Observe que o segmento de reta BN, é bissetriz do ângulo B. Logo, podemos afirmar que parte desse segmento é a diagonal de um quadrado de lados x.

Vamos acrescentar um ponto G de referência.

O triângulo AMB é semelhante ao triângulo AEG

$frac{1}{4} = frac{x}{4-x}$

$4 - x = 4x$

$x = frac{4}{5}$

A área $S$ que é dada pela subtração das áreas de ABF e ABE, é dada por:

$S = frac{4.frac{4}{3}}{2} - frac{4.frac{4}{5}}{2}$

$S = frac{8}{3} - frac{8}{5}$

$S = frac{16}{15}$

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