Questão 1
FUVEST 2017
(FUVEST 2017 - 2 FASE)
Considere uma folha de papel retangular com lados 20 cm e 16 cm. Após remover um quadrado de lado x cm de cada um dos cantos da folha, foram feitas 4 dobras para construir uma caixa (sem tampa) em forma de paralelepípedo reto-retângulo com altura x cm. As linhas tracejadas na figura indicam onde as dobras foram feitas.
a) Expresse o volume da caixa em função de x.
b) Determine o conjunto dos valores de x para os quais o volume da caixa é maior ou igual a 384 cm3 .
Gabarito:
Resolução:
a)
Volume de paralelepípedo:
A base se tornará um retângulo de dimensões e
.
Portanto, o volume será:
_________________________________________
b)
Para o volume ser maior ou igual a 384 cm3 temos a inequação:
Como 2 é uma raiz desse polinômio, podemos dividi-lo por (x-2) para simplificá-lo. Dessa forma, aplicando Briot-Ruffini:
| 2 | 1 | -18 | 80 | -96 |
| 1 | -16 | 48 | 0 |
Logo, temos o polinômio simplificado:
Encontrando as raízes por delta e Bháskara, obtemos:
e
Assim, as raízes do polinômio são
Analisando o sinal do polinômio nos intervalos:
| x<2 | 2<x<4 | 4<x<12 | x>12 |
| - | + | - | + |
Como x não pode ser maior que 8, já que ele representa a dimensão do corte no fundo da caixa em ambos os lados e a menor dimensão é 16, então só podemos considerar o intervalo entre 2 e 4.