Questão 2
FUVEST 2017
(FUVEST 2017 - 2 FASE)
O centro de um disco de raio 1 é colocado no ponto C = (0,1) do plano cartesiano 0xy. Uma das extremidades de um fio de espessura desprezível e comprimento 3 é fixada na origem 0 e a outra extremidade está inicialmente no ponto (3,0). Mantendo o fio sempre esticado e com mesmo comprimento, enrola-se, no sentido anti-horário, parte dele em torno do disco, de modo que a parte enrolada do fio seja um arco OP da circunferência que delimita o disco. A medida do ângulo , em radianos, é denotada por
. A parte não enrolada do fio é um segmento retilíneo
que tangencia o disco no ponto P.
A figura da página de respostas ilustra a situação descrita.
a) Determine as coordenadas do ponto Q quando o segmento for paralelo ao eixo y.
b) Determine as coordenadas do ponto Q quando o segmento for paralelo à reta de equação y = x.
c) Encontre uma expressão para as coordenadas do ponto Q em função de , para
no intervalo
.
Gabarito:
Resolução:
Primeiro, vamos observar o caso geral:
Sendo PQ tangente à circunferência, então PQ é perpendicular ao raio desta. Sendo assim,o triângulo CEP tem em P o ângulo complementar de θ. Como em P temos o complementar de θ e 90° (entre PQ e raio) então o ângulo em P do triângulo FPQ tem que medir θ.
Como o arco mede θ, PQ tem o comprimento do fio menos θ. Logo, PQ = 3-θ
Por trigonometria no triângulo retângulo PQF, encontramos os catetos PF e FQ. Na figura:
a) PQ será paralelo ao eixo y quando θ=90°. Assim:
Logo, o ponto Q estará com coordenada x=1 (já que sen 90° = 1) e coordenada y igual ao comprimento PQ +1.
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b)
PQ será paralelo à reta y=x quando θ=45°. Logo, temos:
Logo:
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c)
No caso geral: