Questão 4

FUVEST 2017

Matemática

(FUVEST 2017 - 2 FASE)

Considere um tetraedro regular ABCD cujas arestas medem 6 cm. Os pontos E,F,G,H e I são os pontos médios das arestas $overline{AB},overline{BC},overline{AC},overline{BD},overline{CD}$ , respectivamente

a) Determine a área do triângulo EFH.

b) Calcule a área do quadrilátero EGIH.

c) Determine o volume da pirâmide de vértices E,G,I,H e F cuja base é o quadrilátero EGIH.

Gabarito:

Resolução:

Por semelhança de triângulos, podemos perceber que o triângulo EHB é semelhante ao triângulo ABD na razão de 1/2.

Analogamente, BFH e BCD; BEF e ABC são semelhantes entre si na mesma razão. Sendo assim, todas as arestas do triângulo EFH medem 3cm.

Como EFH é equilátero, para calcular sua área:

$A_{Delta EFH}=frac{3^2sqrt{3}}{4}=frac{9sqrt{3}}{4}: cm^2$

_____________________________________-

Também usando semelhança de triângulos (DHI e BCD / AEG e ABC / CGI e ACD ) percebemos que HI, EG e IG também medem 3cm cada. Logo, o quadrilátero EGIH se trata de um quadrado de aresta 3. Calculando sua área:

$A_{EGIH}=3^2=9 :cm^2$

___________________________________

Para descobrir o volume da pirâmide, precisamos da área de sua base e sua altura. Como a base a área da base já é conhecida, basta calcularmos sua altura.

Podemos perceber que a altura dessa pirâmide forma um triângulo retângulo com uma de suas arestas e parte da diagonal da base. Chamando de J o ponto central do quadrado EGIH, escolhemos o triângulo retângulo JEF, que tem hipotenusa EF igual a 3 (aresta da pirâmide), um dos catetos EJ igual a metade da diagonal da base e o outro cateto JF sendo a altura. Para calcular a diagonal da base, basta usar Pitágoras:

$d^2=3^2+3^2Rightarrow d=3 sqrt2$

Como o cateto EJ é metade disso, temos: $EJ=frac{3sqrt2}{2}$

Sendo assim, calculamos a altura também por Pitágoras:

$3^2=h^2+(frac{3sqrt2}{2})^2$

Portanto, $h= frac{3 sqrt2}{2}$

Calculando o volume:

$V=frac{1}{3} imes A_b imes h=frac{1}{3} cdot 9 cdot frac{3sqrt2}{2}$

$V=frac{9sqrt2}{2} : cm^3$

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