Questão 13
FUVEST 2017
(FUVEST - 2017 - 2ª FASE)
Um caminhão deve transportar, em uma única viagem, dois materiais diferentes, e
, cujos volumes em m3 são denotados por
e
, respectivamente. Sabe-se que todo o material transportado será vendido. A densidade desses materiais e o lucro por unidade de volume na venda de cada um deles são dados na tabela a seguir.
Para realizar esse transporte, as seguintes restrições são impostas:
I. o volume total máximo de material transportado deve ser de 50 m3 ;
II. a massa total máxima de material transportado deve ser de 10 toneladas.
Considerando essas restrições:
a) esboce, no plano cartesiano preparado na página de respostas, a região correspondente aos pares de volumes dos materiais
e
que podem ser transportados pelo caminhão;
b) supondo que a quantidade transportada do material Y seja exatamente 10m3 , determine a quantidade de material que deve ser transportada para que o lucro total seja máximo;
c) supondo que a quantidade total de material transportado seja de 36 m3 , determine o par que maximiza o lucro total.
Gabarito:
Resolução:
a) O primeiro passo é interpretar as duas restrições trazidas no enunciado.
o volume total máximo de material transportado deve ser de 50 m3 ⇒ ou seja,
a massa total máxima de material transportado deve ser de 10 toneladas. ⇒ a massa é definida como a , então:
Considerando as duas restrições:
A região do gráfico que satisfaz estas condições, sendo que x e y são positivos é:
b) Para que o lucro total seja máximo, a quantidade de produto transportada também precisa ser a máxima. O volume total transportado é de 50m3, então se 10m3 correspondem à Y, isso implica que será transportado 40m3 de X.
A densidade de Y é 400kg/m3, então, o volume de 10m3 corresponde a uma massa de:
400 kg ---------- 1 m3
x ----------------- 10 m3
x = 4000 kg que equivale a 4 toneladas.
A segunda restrição apresentada, informa que a massa total é de 10 toneladas. Então, se estão sendo carregados 4 toneladas de Y, restam 6 toneladas de X.
c) Se a quantidade máxima transportada deve ser de 36 m3, então, .Então, o lucro será:
Como , então
. Substituindo:
Se a quantidade de X aumentar, o lucro irá diminuir. Sendo assim, o lucro será máximo quando x for mínimo, respeitando as restrições de volume e massa. Então:
Portanto, o menor valor possível para x é 16 m3. Sendo este o valor de x, y será:
O par (x,y) que maximiza o lucro é (16,20).