Questão 38046
Seja , sendo a um número real diferente de zero.
Determine os valores de a para os quais as raízes da equação são reais e o número x = 3 pertence ao intervalos fechado compreendido entre as raízes.
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N.D.A.
Gabarito:
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Resolução:
Para que as raízes sejam reais, devemos ter Δ ≥ 0:
Δ = (1 - a)² - 4*(a)*(1) = a² - 6a + 1 ≥ 0
As raízes de a² - 6a + 1 = 0 são 3+2√2 e 3-2√2, assim, para que Δ ≥ 0, então a ≤ 3-2√2 ou a ≥ 3+2√2 (I).
Além disso, devemos ter x = 3 entre as raízes, assim temos dois casos:
1) se a > 0, temos que:
f(3) < 0, então 9a + (1-a)*3 + 1 < 0, então a < -2/3 (Absurdo!)
2) se a < 0, temos que:
f(3) > 0, então 9a + (1-a)*3 + 1 < 0, então a > -2/3
Logo, -2/3 < a < 0. (satisfaz a condição (I))
Obs.: o enunciado não deixou claro que x = 3 deve estar entre as raízes ou se ainda pode ser uma raíz, desse modo, se ele puder ser uma raíz, então temos que
-2/3 ≤ a < 0