Questão 38047
Quantas funções polinomiais grau maior ou igual que 1 satisfazem ?
0.
1.
2.
Uma quantidade finita maior que 2.
Infinitas.
Gabarito:
1.
Resolução:
Seja f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
Temos que:
f(x²) = a0 + a1x2 + a2x4 + ... + anx2n
e
(f(x))² = ( a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn )2
Para que f(x²) seja igual a (f(x))², devemos ter os dois polinômios com o mesmo grau e os coeficientes iguais, assim, podemos ver que f(x²) não possui os termos com grau ímpar, logo, os coeficientes que acompanham xi, sendo i um número ímpar, devem ser iguais a zero, pois são eles que geram os termos de grau ímpar ao elevar f(x) ao quadrado.
Logo, a1 = a3 = a5 = ... = 0.
Assim, f(x) = a0 + a2x2 + a4x4 + ... + anxn (com n sendo par).
Temos então:
f(x²) = f(f(x)), então
f(x²) = a0 + a2x4 + ... + anx2n = a0 + a2(a0 + a2x2 + a4x4 + ... + anxn)2 + a4(a0 + a2x2 + a4x4 + ... + anxn)4 + ... + an(a0 + a2x2 + a4x4 + ... + anxn)n = f(f(x))
Devemos ter o mesmo grau para f(x²) e para f(f(x)).
Podemos ver que o grau de f(x²) é 2n, enquanto que, no termo a2(a0 + a2x2 + a4x4 + ... + anxn)2 de f(f(x)) já teremos um termo com grau 2n. Dessa forma, devemos ter a4 = a6 = a8 = ... = an = 0.
Assim, tem-se que f(x) = a0 + a2x2.
Por fim, terminamos com f(x²) = f(f(x)) novamente:
a0 + a2x4 = a0 + a2(a0 + a2x2)2, então
a0 + a2x4 = a0 + a2a02 + 2a0a22x2 + a22x4, então, igualando os coeficientes, temos:
independente) a0 = a0 + a2a02, então
a2a02 = 0, então
a0 = 0, já que o grau de f(x) deve ser maior ou igual a 1.
de grau 4) a2 = a22, então a2 = 1.
Por fim, concluímos que f(x) = x2