Questão 36824

IME 1997

Matemática

(IME 1997) Considere uma esfera inscrita e tangente à base de um cone de revolução. Um cilindro está circunscrito à esfera de tal forma que uma de suas bases está apoiada na base do cone. Seja V₁ o volume do cone e V₂ o volume do cilindro. Encontre o menor valor da constante k para o qual V₁ = kV₂.

(Dica: Considere o ângulo formado pelo diâmetro da base e a geratriz do cone em uma das extremidades desse diâmetro).

Gabarito:

Resolução:

a figura 3d é meio densa, então vou trabalhar com apenas essa seção que passa pelo eixo do cone. Seja α o ângulo BCD na figura, a partir dele e da geratriz de comprimento g vamos tirar todas as medidas:

raio da esfera inscrita) podemos calcular a área do triângulo BCD de duas maneiras distintas, usando (base)x(altura)/2 e (inraio)x(semiperímetro):

$frac{(2gcosalpha)cdot (gsinalpha)}{2}=rcdot(g+gcosalpha)\\Rightarrow r=gcdotfrac{cosalphasinalpha}{1+cosalpha}$

volume do cone)

$V_1=frac{1}{3}cdot gsinalphacdotpi g^2cos^2alpha=frac{pi g^3}{2}sinalphacos^2alpha$

volume do cilindro)

$V_2=2pi r^3=2pi g^3cdotfrac{cos^3alphasin^3alpha}{(1+cosalpha)^3}$

otimizando a razão) essa é a parte mais chata da resolução

$egin{matrix} frac{V_1}{V_2}=&;frac{frac{pi g^3}{3}sinalphacos^2alpha}{2pi g^3cdotfrac{cos^3alphasin^3alpha}{(1+cosalpha)^3}}\\ =&;frac{1}{6}frac{(1+cosalpha)^3}{cosalphasin^2alpha}\\ =&;frac{1}{6}frac{(1+cosalpha)^3}{cosalpha(1-cos^2alpha)}\\ =&;frac{1}{6}frac{(1+cosalpha)^3}{cosalpha(1-cosalpha)(1+cosalpha)}\\ =&;frac{1}{6}frac{(1+cosalpha)^2}{cosalpha(1-cosalpha)} end{matrix}$

a partir daqui usarei a fórmula:

$cosalpha=2cos^2frac{alpha}{2}-1=1-2sin^2frac{alpha}{2}$

substituindo então:

$egin{matrix} frac{V_1}{V_2}=&;frac{1}{6}frac{(1+cosalpha)^2}{cosalpha(1-cosalpha)} \\ =&;frac{1}{6}frac{(2cos^2frac{alpha}{2})^2}{(2cos^2frac{alpha}{2}-1)(2sin^2frac{alpha}{2})}\\ =&;frac{1}{6}frac{4cos^4frac{alpha}{2}}{(2cos^2frac{alpha}{2}-1)(2sin^2frac{alpha}{2})}\\ =&;frac{1}{3}frac{cos^4frac{alpha}{2}}{(2cos^2frac{alpha}{2}-1)(sin^2frac{alpha}{2})}\\ =&;frac{1}{3}frac{1}{frac{(2cos^2frac{alpha}{2}-1)}{cos^2frac{alpha}{2}}frac{sin^2frac{alpha}{2}}{cos^2frac{alpha}{2}}}\\ end{matrix}$

(pausa para respirar), lembrando que $sec=cos^{-1}$ e que $sec^2= an^2+1$ , então

$egin{matrix} frac{V_1}{V_2}=&;frac{1}{3}frac{1}{(2-sec^2frac{alpha}{2}) an^2frac{alpha}{2}}\\ =&;frac{1}{3}frac{1}{(2-sec^2frac{alpha}{2})(sec^2frac{alpha}{2}-1)} end{matrix}$

nessa parte final podemos substituir

$sec^2frac{alpha}{2}=x$

, lembrando que x≥1

$egin{matrix} frac{V_1}{V_2}=&;frac{1}{3}frac{1}{(2-x)(x-1)} end{matrix}$

portanto minimizar essa expressão´é equivalente a maximizar:

$(2-x)(x-1)=-x^2+3x-2$

que como sabemos ocorre quando x é a média entre as raízes que são 1 e 2, x=3/2>1 sendo válido então na nossa substituição:

$egin{matrix} frac{V_1}{V_2}_{ ext{m{i}nimo}}=&;frac{1}{3}frac{1}{left(2-frac{3}{2} ight)left(frac{3}{2}-1 ight)}\\ =&;frac{1}{3}cdotfrac{1}{frac{1}{2}cdotfrac{1}{2}} \\ =&;frac{4}{3} end{matrix}$

Questão 36824

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