Questão 60512

IME 1997

Matemática

Para cada um dos casos, obtenha valores máximos e mínimos das funções:

a) (Rússia) f(x)=sen³x-sen⁶x +1

b) (IME/ 1997 adaptada) $f(x)=sen(x) + sqrt{3}cos(x) x epsilon mathbb{R}$

c) $f(x)=cos(senx-cosx)+sen(senx-cosx)$

Gabarito:

Resolução:

a) Façamos a mudança de variável $m = sen^3x$ . Desse modo, completando os quadrados da expressão de f(m), segue que:

$f(m) = m-m^2 + 1$

$f(m) = 1- (m^2-m+frac{1}{4}-frac{1}{4})$

$f(m) = 1+ frac{1}{4}- (m^2-m+frac{1}{4})$

$f(m) = frac{5}{4} - (m - frac{1}{2})^2$

Assim, temos que o valor máximo da função é quando $sen^3x = frac{1}{2}$ , e o valor é $frac{5}{4}$ , e o valor mínimo da função é quando $sen^3x = -1$ , e o mínimo é -1.

Questão 60512

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