Questão 34005

IME 2006

Matemática

(IME - 2005/2006 - 1ª FASE)
Sejam $a_1=1-i,,,a_n=r+si$ e $a_{n+1}=left(r-s ight )+left(r+s ight )i,,,n>1$ termos de uma sequência. Determine, em função de n, os valores de r e s que tornam esta sequência em uma PA, tal que r, s $inmathbb{R}$ e $i^2=-1$ .

$r=frac{n}{left(n+1 ight )^2},,e,,s=frac{n}{left(n-1 ight )^2}$

$r=frac{n}{left(n-1 ight )^2},,e,,s=frac{n}{left(n+1 ight )^2}$

$r=frac{n}{n^2-2n+2},,e,,s=frac{n-2}{n^2-2n+2}$

$r=frac{n-2}{n^2+2n+2},,e,,s=frac{n+2}{n^2-2n+2}$

$r=frac{n}{n^2+2n+2},,e,,s=frac{n-2}{n^2+2n+2}$

Gabarito:

$r=frac{n}{n^2-2n+2},,e,,s=frac{n-2}{n^2-2n+2}$

Resolução:

Sendo os 3 termos fazendo parte de uma PA, sendo R a razão:

$large egin{align} R=&a_{n+1}-a_n \ =&(r-s)+i(r+s)-(r+is)\ =&-s+ir end{align}$

da mesma forma:

$large egin{align} a_n-a_1=&(n-1)R \ r+is-(1-i)=&(n-1)(-s+ir)\ (r-1)+i(s+1)=&-(n-1)s+i(n-1)r end{align}$

igualando as partes reais e imaginárias:

$large egin{cases} r-1=-(n-1)s \ s+1=(n-1)r end{cases}$

$large egin{align} r-1=&-(n-1)left[(n-1)r-1) ight]\ r[(n-1)^2+1]=&1+(n-1)\ r[n^2-2n+2]=&n\ r=&frac{n}{n^2-2n+2} \ s+1=&(n-1)[1-(n-1)s]\ s[(n-1)^2+1]=&(n-1)-1\ s[n^2-2n+2]=&n-2\ s=&frac{n-2}{n^2-2n+2} end{align}$

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