Questão 6

IME 2007

Matemática

(IME - 2007/2008) Uma série de Fibonacci é uma seqüência de valores definida da seguinte maneira:

- Os dois primeiros termos são iguais à unidade, ou seja, T₁ = T₂ = 1

- Cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos anteriores, isto é: T_N = T_N-2 + T_N-1

Se T₁₈ = 2584 e T₂₁ = 10946 então T₂₂ é igual a:

12225

13530

17711

20412

22121

Gabarito:

17711

Resolução:

Perceba que o enunciado fornece $T_{18},,,,,,,T_{21}$ e pede $T_{22}$ . Então, usaremos a fórmula dada no enunciado de forma a obter os termos que estão entre $T_{18}$ e $T_{22}$ . Para isso, vamos escrever o termo $T_{20}$ em função de $T_{19}$ e $T_{18}$ , também o termo $T_{21}$ em função de $T_{20}$ e $T_{19}$ e, para determinar o $T_{22}$ , vamos escrever $T_{22}$ em função de $T_{21}$ e $T_{20}$ .

Usando a fórmula recursiva dada no enunciado: $T_{n}= T_{n-2}+T_{n-1}$ , temos:

$left{egin{matrix} T_{20}= T_{18}+T_{19}\ T_{21}= T_{19}+T_{20}\ T_{22}= T_{20}+T_{21} end{matrix} ight.$

Somando as duas primeiras equações, temos:

$left{egin{matrix} T_{20}= T_{18}+T_{19}\ T_{21}= T_{19}+T_{20}\ end{matrix} ight. ightarrow T_{21}+T_{20}=T_{18}+2T_{19}+T_{20} herefore 2T_{19}=T_{21}-T_{18}$

$ightarrow T_{19}=frac{T_{21}-T_{18}}{2}$

Somando a primeira e a terceira equação do sistema inicial, temos:

$left{egin{matrix} T_{20}= T_{18}+T_{19}\ T_{22}= T_{20}+T_{21}\ end{matrix} ight. ightarrow T_{22}+T_{20}=T_{18}+T_{19}+T_{20}+T_{21}$

$ightarrow T_{22}=T_{18}+frac{T_{21}-T_{18}}{2}+T_{21} herefore T_{22}=frac{3,T_{21}+T_{18}}{2}$

Substituindo os valores:

$ightarrow T_{22}=frac{3cdot10946+2584}{2} herefore T_{22}=17711$

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