Questão 7

IME 2007

Matemática

(IME - 2007/2008) Assinale a opção correspondente ao valor de µ que faz com que a equação $(1+mu)s^{3} + 6s^{2} + 5s + 1 = 0$ possua raízes no eixo imaginário.

Gabarito:

Resolução:

Suponha que a raíz complexa seja do tipo: $z=ai$ . Assim: $z^2=-a^2$ e $z^3=-a^3i$ .

$(1+mu)s^{3} + 6s^{2} + 5s + 1 = 0$

$-(1+mu)a^3i -6a^2 + 5ai + 1 = 0$

Então:

$left{egin{matrix} -(1+mu )a^3+5a=0\ -6a^2+1=0 end{matrix} ight.$

$a^2=frac{1}{6}$

$a=pm frac{sqrt{6}}{6}$ ⇒ $a^3=pm frac{sqrt{6}}{36}$

$-(1+mu)(pm frac{sqrt{6}}{36})+5(pm frac{sqrt{6}}{6})=0$

$-frac{(1+mu)}{6}+5=0$

$-(1+mu)+30=0$

$mu=29$

Alternativa correta é Letra D.

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