Questão 8

IME 2007

Matemática

(IME - 2007/2008) Assinale a opção correspondente ao número de possíveis valores de $alpha in [0,2pi)$ tais que o lugar geométrico representado pela equação $3x^{2} + 4y^{2} - 16y - 12x + tgalpha + 27 = 0$ seja um único ponto.

Nenhum valor

Apenas 1 valor

2 valores

4 valores

Um número infinito de valores

Gabarito:

2 valores

Resolução:

$3x^{2} + 4y^{2} - 16y - 12x + tgalpha + 27 = 0$

$3(x^2-4x+4)-12+4(y^2-4y+4)-16+tan(alpha)+27=0$

$3(x-2)^2+4(y-2)^2+tan(alpha)-1=0$

Note que se $tan(alpha)-1=0$ , a equação se torna $3(x-2)^2+4(y-2)^2=0$ , que tem como solução somente o ponto $(2,2)$ . Logo:

$tan(alpha)-1=0$

$tan(alpha)=1$

$alpha =frac{pi}{4}$ ou $alpha =frac{5pi}{4}$

Alternativa correta é Letra C.

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