Questão 9

IME 2007

Matemática

(IME - 2007/2008) Sendo o ponto A (8, – 2) um vértice de um losango ABCD e 2x + y + 1 = 0 a reta que contém os vértices B e D, assinale a opção correspondente ao vértice C.

A

( – 2 , – 8)

B

( 0 , – 4)

C

( 4, 3)

D

( – 4 , – 8)

E

(–1, 7)

Gabarito:

( – 4 , – 8)

Resolução:

Sendo o ponto A (8, – 2) um vértice de um losango ABCD e 2x + y + 1 = 0 a reta que contém os vértices B e D, assinale a opção correspondente ao vértice C.

1) Distância do ponto A até a reta BD:

$r=frac{|2x_A+y_A+1|}{sqrt{5}}$

$r=frac{|16-2+1|}{sqrt{5}}=3sqrt{5}$

2) O ponto $C=(c,d)$ forma com A a seguinte reta:

$left{egin{matrix} 8a+b=-2\ ac+b=d end{matrix} ight.$

$a(8-c)=-2-d$

$a=frac{-2-d}{8-c}$

$b=-2-8a=frac{-16+2c+16+8d}{8-c}=frac{2c+8d}{8-c}$

$y=frac{-2-d}{8-c}x+frac{2c+8d}{8-c}$

$m_1=frac{-2-d}{8-c}$

Essa reta é perpendicular à reta BC. Então:

$frac{-2-d}{8-c} cdot(-2)=-1$

$-4-2d=8-c$

$c=12+2d$

3) Esse ponto está à distância de $2r$ de A:

$(8-c)^2+(-2-d)^2=(2r)^2$

$(-4-2d)^2+(-2-d)^2=180$

$16+16d+4d^2+4+4d+d^2=180$

$5d^2+20d-160=0$

$d^2+4d-32=0$

$(d+8)(d-4)=0$

$d=-8$ $c=-4$

$d=4$ → $c=20$

4) Vamos testar os dois pontos. O verdadeiro ponto C está a uma distância r da reta BD:

$r_1=frac{|2cdot (-4)-8+1|}{sqrt{5}}$

$r_1=frac{15}{sqrt{5}}$ ⇒ correto

$r_2=frac{|2cdot (20)+4+1|}{sqrt{5}}$

$r_2=frac{45}{sqrt{5}}$ ⇒ incorreto

Então, o ponto C é $(-4,-8)$ . Alternativa correta é Letra D.

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