Questão 11

IME 2007

Matemática

(IME - 2007/2008) Assinale a opção correspondente aos valores de K para os quais o sistema de equações dado por:

$left{egin{matrix} e^{x} &+ e^{y} & = e^{x+y} \ x& +y & = K end{matrix} ight.$ ,admite solução real

0 ≤ K ≤ 2

0 ≤ K ≤ ln2

$K geq e^{-2}$

K > ln 4

0 ≤ K ≤ 1

Gabarito:

K > ln 4

Resolução:

Substituindo $y=k-x$ :

$e^{k-y}+e^y=e^k$

$frac{e^k}{e^y}+e^y=e^k$

$e^{2y}-e^y cdot e^k+e^k=0$

Trocando $e^y$ por $a$ :

$a^2-ae^k+e^k=0$

$Delta = e^{2k}-4e^k>0$

$e^{2k}>4e^k$

$ln(e^{2k})>ln(4e^k)$

$2k>ln(4)+k$

$k>ln(4)$

Alternativa correta é Letra D.

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