Questão 3

IME 2007

Matemática

(IME - 2007/2008) Os elementos da matriz dos coeficientes de um sistema de quatro equações lineares e quatro incógnitas (x, y, z e w) são função de quatro constantes a, b, c e d. Determine as relações entre a, b, c e d para que o referido sistema admita uma solução não trivial, sabendo que CD = − DC, onde

$C = egin{bmatrix} a &b \ c& d end{bmatrix}$

$D = egin{bmatrix} x &y \ z& w end{bmatrix}$

Gabarito:

Resolução:

$CD+DC=0$

$egin{bmatrix} a &b \ c& d end{bmatrix} egin{bmatrix} x &y \ z& w end{bmatrix}+ egin{bmatrix} x &y \ z& w end{bmatrix}egin{bmatrix} a &b \ c& d end{bmatrix}=0$

$egin{bmatrix} ax+bz &ay+bw \ cx+dz& cy+dw end{bmatrix} + egin{bmatrix} ax+cy & bx+dy \ az+cw & bz+dw end{bmatrix}=0$

$egin{bmatrix} 2ax+bz +cy &ay+bw+bx+dy \ az+cx+cw+dz& bz+ cy+2dw end{bmatrix}=egin{bmatrix} 0 & 0\ 0 & 0 end{bmatrix}$

Temos um sistema homogêneo 4 por 4, cuja matriz D associada é:

$D=egin{bmatrix} 2a & c & b& 0\ b& a+ d& 0 & b \ c & 0 & a+d&c \0 &c & b& 2dend{bmatrix}$

Determinante de D:

$D=2a cdot egin{vmatrix} a+d & 0 & b\ 0 & a+d & c\ c & b & 2d end{vmatrix}-bcdot egin{vmatrix} c & b & 0\ 0 & a+d & c\ c & b & 2d end{vmatrix}+ccdot egin{vmatrix} c & b & 0\ a+d & 0& b \ c & b & 2d end{vmatrix}$

$detD=2a[(a+d)^22d-bc(a+d)-bc(a+d)]-b[2cd(a+d)+bc^2-bc^2]+c[b^2c-b^2c-2bd(a+d)]$

$detD=(a+d)[(a+d)4ad-4abc-2bcd-2bcd]$

$detD=(a+d)[(a+d)4ad-4bc(a+d)]$

$detD=4(a+d)^2(ad-bc)$

Se o sistema admitir somente uma solução, está será a solução trivial. Então precisamos que o sistema seja indeterminado. Assim, façamos o determinante igual a 0.

$detD=4(a+d)^2(ad-bc)=0$

Resposta: $a=-d$ ou $ad=bc$

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