Questão 6

IME 2007

Matemática

(IME - 2007/2008) Determine a expressão da soma a seguir, onde n é um inteiro múltiplo de 4.

$1 + 2i + 3i^{2} + cdots + (n+1)i^{n}$

Gabarito:

Resolução:

$S=1 + 2i + 3i^{2} + cdots + (n+1)i^{n}$

É possível notar que a soma S é uma soma de várias PGs:

$1+i+i^2+...+i^n$ → $S_1$

$i+i^2+...+i^n$ → $S_2$

$i^2+...+i^n$ → $S_3$

...

$i^n$ → $S_{n+1}$

Soma de todas as linhas → $S$

Soma de cada linha, pela fórmula da soma de PG:

$S_p=frac{i^{p-1}(i^{n+2-p}-1)}{i-1}$

$S_p=frac{(i^{n+1}-i^{p-1})}{i-1}$

Como n é um múltiplo de 4, então: $i^n=1$ e $i^{n+1}=i$ :

$S_p=frac{(i-i^{p-1})}{i-1}$

Multiplicando o numerador e o denominador por i:

$S_p=frac{(-1-i^{p})}{-1-i}=frac{(1+i^{p})}{1+i}$

Como último passo, S é a soma de todos os $S_p$ :

$S=sum_{p=1}^{n+1} S_p$

$S=sum_{p=1}^{n+1}frac{(1+i^{p})}{1+i}$

$S=frac{(1+i^{1})+(1+i^{2})+(1+i^{3})+...+(1+i^{n})+(1+i^{n+1})}{1+i}$

$S=frac{n+1+i+i^2+i^3+...+i^{n+1}}{1+i}$

$S=frac{n+S_1+i}{1+i}$ ⇒ Trocando $S_1$ por $S_1=frac{(i^{n+1}-1)}{i-1}=1$

$S=frac{n+1+i}{1+i}$

$S=frac{n+1+i}{1+i}cdot frac{1-i}{1-i}$

$S=frac{(n+2)-ni}{2}$

Questões relacionadas

Questão 1

(IME - 2007/2008) Determine o conjunto-solução da equação:

Questão 2

(IME - 2007/2008) Encontre o polinômio P(x) tal que e é divisível por , onde Q(x) é um polinômio do 6º grau.

Questão 10

(IME - 2007/2008) Considere todos os pontos de coordenadas (x,y) que pertençam à circunferência de equação . Determine o maior valor possível de

Questão 1

(IME - 2007/2008) QUESTÃO ANULADA De quantas maneiras n bolas idênticas podem ser distribuídas em três cestos de cores verde, amarelo e azul? a) b) c)&...