Questão 7

IME 2007

Matemática

(IME - 2007/2008) A área de uma calota esférica é o dobro da área do seu círculo base. Determine o raio do círculo base da calota em função do raio R da esfera.

Gabarito:

Resolução:

Área da calota esférica: $A_1=2pi Rh$

Área do círculo base: $A_2=pi r^2$

$2pi Rh=2pi r^2$

$r^2=Rh$

Teorema de Pitágoras:

$R^2=r^2+(R-h)^2$

$R^2=r^2+R^2+h^2-2Rh$

$2Rh=r^2+h^2$

$2r^2=r^2+h^2$

$r^2=h^2$

$r=h$

Substituindo na equação anterior:

$r^2=Rr$

$r=R$

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