Questão 8

IME 2007

Matemática

(IME - 2007/2008) Em um quadrado ABCD o segmento AB ' , com comprimento igual ao lado do quadrado, descreve um arco de círculo, conforme indicado na figura. Determine o ângulo $Bhat{A}B$ ' correspondente à posição em que a razão entre o comprimento do segmento B’C e o lado do quadrado vale $sqrt{3-sqrt{6}}$ .

Gabarito:

Resolução:

1) $sen(alpha)=frac{x}{L}$

$x=Lsen(alpha)$

2) $y=L(1-cos(alpha))$

$y=L(1-cos(alpha))=bCsen( heta)$

$L^2(1-cos(alpha))^2=bC^2sen^2( heta)$

$L^2(1-cos(alpha))^2=(3-sqrt{6})L^2(1-cos^2( heta))$

$cos^2( heta)=1-frac{(1-cos(alpha))^2}{3-sqrt{6}}$

3) Por Pitágoras:

$x^2+y^2=d^2$

$d^2=L^2sen^2(alpha)+L^2(1-cos(alpha))^2$

4) Aplicando Lei dos Cossenos em B'BC:

$d^2=bC^2+L^2-2bCcdot Lcdot cos( heta)$

$L^2sen^2(alpha)+L^2(1-cos(alpha))^2=(3-sqrt{6})L^2+L^2-2bCcdot Lcdot cos( heta)$

$sen^2(alpha)-2cos(alpha)+cos^2(alpha)=(3-sqrt{6})-2cdot sqrt{3-sqrt{6}} cdot cos( heta)$

$-2cos(alpha)=2-sqrt{6}-2cdot sqrt{3-sqrt{6}} cdot cos( heta)$

$2sqrt{3-sqrt{6}} cdot cos( heta)=2-sqrt{6}+2cos(alpha)$

$cos( heta)=frac{2-sqrt{6}+2cos(alpha)}{2sqrt{3-sqrt{6}}}$

$cos^2( heta)=frac{(2-sqrt{6}+2cos(alpha))^2}{4(3-sqrt{6})}=1-frac{(1-cos(alpha))^2}{3-sqrt{6}}$

$(2-sqrt{6}+2cos(alpha))^2=4(3-sqrt{6})-4(1-cos(alpha))^2$

$4+6+4cos^2(alpha)-4sqrt{6}+8cos(alpha)-4sqrt{6}cos(alpha)=12-4sqrt{6}-4-4cos^2(alpha)+8cos(alpha)$

$8cos^2(alpha)-4sqrt{6}cos(alpha)+2=0$

$4cos^2(alpha)-2sqrt{6}cos(alpha)+1=0$

$Delta=24-16=8$

$cos(alpha)=frac{2sqrt{6}pm2sqrt{2}}{8}$

$cos(alpha)=frac{sqrt{6}pmsqrt{2}}{4}$

$alpha=75^circ$ ou $alpha=15^circ$

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