Questão 9

IME 2007

Matemática

(IME - 2007/2008) Considere os números complexos $Z_{1} = senalpha + i cosalpha$ e $Z_{2} =cosalpha - i senalpha$ , onde $alpha$ é um número real. Mostre que, se $Z = Z_{1}Z_{2}$ , então $-1 leq R_{e}(Z) leq 1$ e $-1 leq I_{m}(Z) leq 1$ , Onde $R_{e}(Z) e I_{m}(Z)$ indicam, respectivamente, as partes real e imaginária de Z.

Gabarito:

Resolução:

$Z_{1} = senalpha + i cosalpha$ e $Z_{2} =cosalpha - i senalpha$

$Z=Z_1 Z_2$

$Z=(senalpha+icosalpha)(cosalpha-isenalpha)$

$Z=senalpha cdot cosalpha-isen^2alpha+icos^2alpha+senalpha cdot cosalpha$

$Z=sen(2alpha)+cos(2alpha)i$

Da trigonometria:

$-1 leq sen(2alpha) leq 1$ e $-1 leq cos(2alpha) leq 1$

$-1 leq Re(Z) leq 1$ e $-1 leq Im(Z) leq 1$

Como queríamos demonstrar.

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