Questão 4

IME 2009

Física

(IME - 2009/2010) A figura mostra o perfil de um par de espelhos planos articulado no ponto O e, inicialmente, na vertical. Ao centro do espelho OB é colado um pequeno corpo, cuja massa é muito maior que a do espelho. O espelho OA encontra-se fixo e, frente ao mesmo, é colocado um objeto P. Em um dado instante, é aplicado um impulso no espelho OB, conferindo a extremidade B uma velocidade inicial v₀, no sentido de fechar os espelhos face contra face. Tomando como referência o eixo x, determine:

a) a altura máxima atingida pela extremidade B.

b) os módulos dos vetores velocidade da extremidade B, para cada instante em que uma imagem adicional do objeto P é formada, até que B atinja sua altura máxima.

Dados:

• L = 90 cm

• v_o = 7 m/s

• g = 10 m/s²

Gabarito:

Resolução:

a) Como todos os pontos da barra tem a mesma velocidade angular, se a extremidade B tem velocidade v₀, m apresenta velocidade v₀/2. Desprezando a massa do espelho, que é muito menor que m, pela conservação da energia mecânica:

$Delta E_C+Delta E_P = 0\ frac{mv^2}{2}-frac{mfrac{v_0}{4}^2}{2}+mgDelta y=0$

No ponto máximo de altura, v = 0:

$frac{mfrac{v_0^2}{4}}{2}+mgDelta y=0 Rightarrow y=frac{v_0^2}{8g} herefore y = 0,6125m$

Note que

$0,6125>frac{L}{2}=0,45$

Montando o esquema:

$Delta y = frac{L}{2}+a Rightarrow 0,6125=frac{0,9}{2}+a Rightarrow a = 0,1625m$

Pela semelhança dos triângulos:

$frac{b}{a}=frac{2}{1}=frac{b}{0,1625}=2 herefore b = 0,325m$

Então $H_B=L+b=0,9+0,325Rightarrow H_B=1,225m$

b) O enunciado não apresenta as informações necessárias para se descobrir todos instantes em que aparece uma imagem adicional, já que isto depende da posição em que se encontra o objeto P. Aqui serão determinadas as velocidades da extremidade B para todos os momentos nos quais N (número de imagens) se torna inteiro. Assim:

$N = frac{360}{alpha}-1$

$Delta y = frac{L}{2}(1-cos(180-alpha_i)), para i=0,1,2,3...$

Como os valores desse alpha i são dados a partir de $alpha_0 = 180$ (espelho OB na vertical), esta será 1 imagem. $alpha_1 = 120$ , 2 imagens.

$alpha_3 = 90 Rightarrow 3\ alpha_4= 72 Rightarrow 4\ alpha_5 =60 Rightarrow 5\ e continua...$

Deve-se respeitar

$Delta y leq 0,6125m\ herefore Delta y_0 = frac{0,9}{2}(1-cos(180-180))=0\Delta y_1=frac{0,9}{2}(1-cos(180-120))=0,225m\seguindo:\ Delta y_2=0,45m \ Delta y_3=0,5895m \ Delta y_4=0,675m\$

Portanto, o y4 não satisfaz a inequação.

Para que seja determinada a velocidade, basta conservar a energia mecânica para os repectivos valores de $Delta y_i$ :

$v_i=sqrt (v_0^2-8gDelta y_i)$

Substituindo os valores, tem-se:

$v_0=7m/s\v_1=sqrt31 m/s\v_2=sqrt 13m/s\v_3=sqrt1,84 m/s$

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