Questão 7
IME 2010
[IME- 2010/2011 - 1a fase] O pipoqueiro cobra o valor de R$ 1,00 por saco de pipoca. Ele começa seu trabalho sem qualquer dinheiro para troco. Existem oito pessoas na fila do pipoqueiro, das quais quatro têm uma moeda de R$ 1,00 e quatro uma nota de R$ 2,00. Supondo uma arrumação aleatória para a fila formada pelas oito pessoas e que cada uma comprará exatamente um saco de pipoca, a probabilidade de que o pipoqueiro tenha troco para as quatro pessoas que pagarão com a nota de R$ 2,00 é:
Gabarito:
Resolução:
Se as pessoas só são distinguíveis pela quantidade de dinheiro que possuem, seja R$1,00 ou R$2,00.
Teremos uma fila com 8 pessoas, com 4 pessoas tendo 1 real e 4 tendo 2 reais.
Ao fazermos a permutação dessas pessoas na fila, teremos possibilidades diferentes.
Para haver troco para todos os clientes, o primeiro sempre deve ser um cliente com 1 real, e o último sempre deve ser um cliente com 2 reais.
Sendo assim, na situação favorável, 2 casas já estão definidas, precisamos apenas permutar o restante nas outras 6 casas.
Isso nos dará um total de casos.
Dentro desses 20 casos, temos algumas possibilidades falhas.
Por exemplo, as sequências que começam com 122xxxx2 todas falham, pois falta troco pelo menos ao terceiro cliente.
Isso nos dá 4 falhas( basta permutar o outro cliente de 2 reais nas 4 casas x).
Uma outra possibilidade de falha seriam as sequências 1xxxx112, pois sobraria troco ao final( logo faltou para alguém no meio da fila).
Nessa possibilidade teríamos também 4 falhas( permutando o outro cliente de 1 real nas 4 casas x), mas duas delas já foram contadas antes que são os casos 12212112 e o caso 12221112.
Sendo assim, dos 20 casos já fixando o primeiro e o último 6 falham. Logo, sobram 14 casos de sucesso dentre os 70 casos totais.
14/70 = 1/5.
Alternativa B.