Questão 1135

IME 2010

Matemática

[IME- 2010/2011 - 1a fase] Sejam x e y números reais. Assinale a alternativa correta:

A

Todo x e y satisfaz $|x|+|y|leq sqrt{2}|x^{2}+y^{2}|$

B

Existe x e y que não satisfaz

C

Todo x e y satisfaz $|x|+|y|leq sqrt{2}sqrt{|x^{2}|+|y^{2}|}$

D

Todo x e y satisfaz

E

Não existe x e y que não satisfaz $|x|+|y|leq sqrt{3}|x^{2}+y^{2}|$

Gabarito: Todo x e y satisfaz $|x|+|y|leq sqrt{2}sqrt{|x^{2}|+|y^{2}|}$

Resolução:

a) INCORRETA

$|x| + |y| leq sqrt{2}|x^{2} + y^{2}|$

Adote um valor x=y= $frac{1}{2}$

$|frac{1}{2}| + |frac{1}{2}| leq sqrt{2} |(frac{1}{2})^{2} + (frac{1}{2})^{2}|$

$1 leq sqrt{2}frac{1}{2} (FALSO)$

b) INCORRETA

$|x + y| leq | |x| + |y|| = |x| + |y|$

$|x+y| leq |x| + |y|$

A ultima desigualdade é a desigualdade triângular, que é verdadeira para todo x e y real.

C) CORRETA

$|x| + |y| leq sqrt{2} sqrt{|x|^{2}+|y|^{2}}$

Elevando ambos os lados ao quadrado:

$x^{2} + 2|x||y| + y^{2} leq 2(|x|^{2}+|y|^{2})$

$x^{2} - 2|x||y|+y^{2} geq 0$

$(|x| - |y|)^{2} geq 0$

Verdadeiro, pois todo quadrado é sempre positivo.

D) INCORRETO

$|x-y| leq |x+y|$

Fazendo x = 1 e y = -2. Assim:

$|1-(-2)| = |1+2| = 3$

$|1+(-2)| = 1$

Portanto a desigualdade não é verdadeira.

e) INCORRETA

Fazendo x = y = 1/2:

$|frac{1}{2} + frac{1}{2}| leq sqrt{3} |frac{1}{2}^{2} + frac{1}{2}^{2}|$

$1 leq sqrt{3} cdot frac{1}{2}$

Falso.

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