Questão 11

IME 2010

Matemática

[IME- 2010/2011 - 1a fase] Seja p(x) uma função polinomial satisfazendo a relação $p(x).p(frac{1}{x})=p(x)+p(frac{1}{x})$ . Sabendo que p(3) = 28, o valor de p(4) é:

Gabarito: 65

Resolução:

Da igualdade temos:

$p(x)cdot p(1/x)=p(x)+p(1/x)Leftrightarrow p(x)cdotleft [ p(1/x)-1 ight ]=p(1/x)$

$p(x)cdot p(1/x)=p(x)+p(1/x)Leftrightarrow p(1/x)cdot left [ p(x)-1 ight ]=p(x)$

Multiplicando as duas equações acima, vem:

$p(x)cdot p(1/x)cdotleft [ p(1/x)-1 ight ]=p(x)cdot p(1/x)Rightarrow pcdotleft [ p(1/x)-1 ight ]=1$

Chamando $A(x)=p(x)-1$ , isso implica que $A(1/x)=p(1/x)-1$ e $A(x)cdot A(1/x)=1$

Sabendo que $A(1/x)$ é a transformada recíproca de $A(x)$ , então:

$A(x)cdot A(1/x)=1Leftrightarrow A(x)=a_ncdot x^n$ ou $A(x)=c$

Logo, temos que $A(x)=a_n cdot x^nRightarrow a_n^2=1Leftrightarrow a_n=pm 1Rightarrow A(x)=pm x^n$

ou $A(x)=cRightarrow c^2=1Leftrightarrow c=pm 1Rightarrow A(x)=pm 1$

Suponha que

$A(x)cdot A(1/x)=1Leftrightarrow (a_n cdot x^n +c) cdot (a_n/x^n +c)=1$

$Leftrightarrow$

$a_n^2+c^2+a_n cdot ccdot(x^n+1/x^n)=1Leftrightarrow left{egin{matrix} a_n^2+c^2=1\a_ncdot c=0 end{matrix} ight.$ $Leftrightarrow$ $Leftrightarrow left{egin{matrix} c=0Leftrightarrow a_n=pm 1\ a_n=0Leftrightarrow c=pm 1 end{matrix} ight.$

Com isso, recaímos nas condições anteriores.

Logo, $p(x)=pm x^n+1$ ou $p(x)=pm 1$

Usando a hipótese de que p(3) = 28, a segunda condição é descartada. Usando apenas a primeira condição, temos que:

$p(3)=pm left (3 ight )^n+1=28Leftrightarrow 3^n=pm 27$

Como $3^n$ é positivo, temos que n = 3 e assim, $p(x)=x^3+1$ . Portanto, $p(4)=4^3+1$

$p(4)=65$

Questões relacionadas

Questão 2

[IME- 2010/2011 - 1a fase] O valor de x que satisfaz a equação :

Ver questão

Questão 3

[IME- 2010/2011 - 1ª fase] A base de uma pirâmide é um retângulo de área S. Sabe-se que duas de suas faces laterais são perpendiculares ao plano d...

Ver questão

Questão 4

[IME- 2010/2011 - 1ª fase] Sejam , ..., os n primeiros termos de uma progressão aritmética. O primeiro termo e a razão desta progressão são os n&ua...

Ver questão

Questão 5

[IME- 2010/2011 - 1a fase] Uma reta, com coeficiente angular , passa pelo ponto (0,–1). Uma outra reta, com coeficiente angular , passa pelo ponto (0,1). Sabe-se que . O lugar geomét...

Ver questão