Questão 12

IME 2010

Matemática

(IME- 2010/2011) Uma progressão aritmética , onde , tem a1 > 0 e . Se é a soma dos n primeiros termos desta progressão, o valor de n para que seja máxima é:

Gabarito: 20

Resolução:

A fórmula do termo geral de uma PA é $a_n = a_1 +(n-1)r$ .

Segundo o enunciado: .

$3[a_1 +7r] = 5[a1 + 12r]$

$3a_1 - 5a_1 = 60r - 21r$

$2a_1 = -39r$

Se a₁ >0, r é negativo, implicando que a soma deve diminuir a partir de algum valor de n.

A fórmula da soma de uma PA com n termos é dada por:

$S_n = frac{(a_1+a_n)n}{2}$

$S_n = frac{(a_1+a_1 + (n-1)r)n}{2}$

$S_n = frac{(-39r + (n-1)r)n}{2}$

$S_n = frac{(-39 + (n-1))nr}{2}$

$S_n = frac{(-39n + n^2-n)r}{2}$

$S_n = frac{(n^2-40n)r}{2}$ .

Para maximizar a soma, devemos mínimizar o termo n²-40n, já r é negativo precisamos de n²-40n sendo o valor mais negativo possível.

Assumindo f(n) = n² -40n, temos uma parábola com côncavidade para cima, com raízes 0 e 40. Assim, o vértice dessa parábola acontece em n = 20, e é nessa posição que a parábola terá seu valor mínimo, como desejamos.

Assim, a resposta da questão é n = 20.

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