Questão 15

IME 2010

Matemática

[IME- 2010/2011 - 1ª fase]

Seja , onde a e b são números reais diferentes de zero. Sabendo que , o valor de

−3

−5

Gabarito: 3

Resolução:

Seja $p=log_{10}(log_310)=log_{10}(frac{1}{log_{10}3})=-log_{10}(log_{10}3)$ .

Com isso, temos que: $log_{10}(log_310)=p;e;log_{10}(log_{10}3)=-p$ .

A função quando $x=log_{10}(log_310)=p$ é igual a 5, pelo enunciado. Portanto, podemos fazer:

$f(log_{10}(log_310))=f(p)={asin(p)+bsqrt[3]p+4=5\ herefore asin(p)+bsqrt[3]p=1}$

Para achar, agora, o valor que a questão pede, fazemos:

$f(log_{10}(log_{10}3))={f(-p)=asin(-p)+bsqrt[3]{-p}+4\f(-p)=asin(-p)+bsqrt[3]{-p}+4}$

Como as funções raíz cúbica e seno são funções ímpares, então $sqrt[3]{p}=-sqrt[3]{-p}$ e $sin(p)=-sin(-p)$ . Assim, a função f(-p) fica:

$f(-p)=asin(-p)+bsqrt[3]{-p}+4=-asin(p)-bsqrt[{3}]{p}+4=-(asin(p)+sqrt[3]{p})+4\ herefore f(log_{10}(log_{10}3))=f(-p)=-1+4=3$

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