Questão 2

IME 2010

Matemática

[IME- 2010/2011 - 2ª fase]

Determine o valor da excentricidade da cônica dada pela equação $x^2 - 10 sqrt3xy+ 11y^2 + 16 = 0$ .

Gabarito:

Resolução:

Temos:

$[x y] egin{bmatrix} 1 &-5sqrt{3} \ -5sqrt{3} &11 end{bmatrix} egin{bmatrix} x\y end{bmatrix} + 16 = 0$

Encontrando os autovalores dessa matriz:

$egin{vmatrix} 1 - lambda &-5sqrt{3} \ -5sqrt{3}&11-lambda end{vmatrix} = 0$

Pelo determinante:

$(1-lambda)(11-lambda) - [(-5sqrt{3})^{2}] = 0$

$lambda^{2}-12lambda - 64 = 0$

$lambda = -4 ou lambda = 16$

É possível reescrever a equação matricial inicial com base nos autovetores:

$[u v]egin{bmatrix} -4 & 0 \ 0& 16 end{bmatrix}egin{bmatrix} u\v end{bmatrix} + 16 = 0$

$-4u^{2}+16v^{2} = -16$

$frac{u^{2}}{4} - frac{v^{2}}{1} = -16$

É uma equação que representa uma hipérbole!

Assim: $a =2, b = 1$

$c^{2} = a^{2}+b^{2} Rightarrow c = sqrt{5}$

Excentricidade: $e = frac{sqrt{5}}{2}$

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