Questão 3

IME 2010

Matemática

[IME- 2010/2011 - 2ª fase]

Sejam $z_{1}=10+6i e z_{2}=4+6i$ , onde i é a unidade imaginária, e z um número complexo tal que $arg frac{z-z_{1}}{z-z_{2}}=frac{pi}{4}$ , determine o módulo do número complexo (z – 7 – 9i).

Obs.: arg(w) é o argumento do número complexo w.

Gabarito:

Resolução:

Assumindo z = a + bi:

$frac{z - z_{1}}{z-z_{2}} = frac{(a + bi)-(10+6i) }{(a+bi)-(4+6i)} = frac{(a-10)+(b-6)i}{(a-4)+(b-6)i}$

Fazendo o produto pelo conjugado:

$[ frac{(a-10)+(b-6)i}{(a-4)+(b-6)i}] cdot [frac{(a-4)-(b-6)i}{(a-4)-(b-6)i}]$

$= frac{[(a-10)(a-4)+(b-6)^{2}] +[-(a-10)(b-6)+(b-6)(a-4)]i}{(a-4)^{2}+(b-6)^{2}}$

$= [frac{a^{2}-14a + 40 +(b-6)^{2}}{(a-4)^{2}+(b-6)^{2}}] + [frac{6b-36}{(a-4)^{2}+(b-6)^{2}}]i$

Sabendo que: $arg(frac{z-z_{1}}{z-z_{2}}) = frac{pi}{4}$ , as partes reais e imaginárias desse número devem ser obrigatoriamente iguais.

$[frac{a^{2}-14a + 40 +(b-6)^{2}}{(a-4)^{2}+(b-6)^{2}}] = [frac{6b-36}{(a-4)^{2}+(b-6)^{2}}]i$

$x^{2} - 14x + 40 + y^{2} -18 y = -112$

Completando os quadrados da expressão:

$x^{2}-2x cdot 7 + 7^{2} + y^{2} -2y cdot 9 + 9^{2} = -112 +7^{2} + 9^{2}$

$(x-7)^{2} + (y-9)^{2} = 18$

Logo:

$|z-7-9i| = |A(a+bi) - (7+9i)| = |((a-7) + (b-9)i )$

$sqrt{(a-7)^{2}+(b-9)^{2}} = sqrt{18}$

$|z-7-9i| = 3sqrt{2}$

Questões relacionadas

Questão 2

[IME- 2010/2011 - 1a fase] O valor de x que satisfaz a equação :

Ver questão

Questão 3

[IME- 2010/2011 - 1ª fase] A base de uma pirâmide é um retângulo de área S. Sabe-se que duas de suas faces laterais são perpendiculares ao plano d...

Ver questão

Questão 4

[IME- 2010/2011 - 1ª fase] Sejam , ..., os n primeiros termos de uma progressão aritmética. O primeiro termo e a razão desta progressão são os n&ua...

Ver questão

Questão 5

[IME- 2010/2011 - 1a fase] Uma reta, com coeficiente angular , passa pelo ponto (0,–1). Uma outra reta, com coeficiente angular , passa pelo ponto (0,1). Sabe-se que . O lugar geomét...

Ver questão