Questão 4

IME 2010

Matemática

[IME- 2010/2011 - 2ª fase]

Os números m, 22.680 e n fazem parte, nessa ordem, de uma progressão geométrica crescente com razão dada por q. Sabe-se que:

existem, pelo menos, dois elementos entre m e 22.680;
n é o sexto termo dessa progressão geométrica;
n ≤ 180.000.

Determine os possíveis valores de m e n, sabendo que m, n e q são números naturais positivos .

Gabarito:

Resolução:

Existem três situações possíveis dado o problea.

$(m, a_{2},a_{3}, a_{4}, 22680, n)$

Tendo em vista que: $22680 = 2^{3}cdot 3^{4} cdot 5 cdot 7$ , a única possibilidade para essa progressão geométrica é uma razão igual a 3.

Teríamos, portanto:

$(280, 840, 2520, 7560,22680, 68040)$

m = 280 e n = 68040

2. $(m, a_{2}, a_{3}, 22680, a_{5}, n)$

Nesse caso a razão poderia ser 2, 3 ou o produto de ambos: 6. Entretanto, perceba que 6 ou 3 como razão gerariam n > 180.000, fugindo da condição imposta inicialmente pelo problema. Isto posto:

$(2835, 5670, 11340, 22680, 45360, 90720)$

m = 2835 e n = 90720

3. $(a_{1}, m, a_{3}, a_{4}, 22680, n)$

Nesse caso específico tanto 2, 3 ou 6 poderiam ser razão.

Para razão 2:

$(frac{2835}{2}, 2835, 5670, 11340, 22680, 45360)$

m = 2835, n = 45360

Para razão 3:

$(280, 840, 2520,7560,22680,68040)$

m = 840 e n = 68040

Para razão 6:

$(frac{105}{6}, 105, 630, 3780,22680,136080)$

m = 105 e n = 136.080

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