Questão 9

IME 2010

Matemática

[IME- 2010/2011 - 2ª fase]

Sejam o polinômio $p(x)=2x^{3}-3x^2+2$ e os conjuntos A = { p(k) / k ∈ IN e k ≤ 1999}, B = { r² + 1 / r ∈ IN} e C = { q² + 2 / q ∈ IN}. Sabe-se que y = n(A∩B) – n(A∩C), onde n(E) é o número de elementos do conjunto E. Determine o valor de y.

Obs.: IN é o conjunto dos números naturais.

Gabarito:

Resolução:

Precisamos obter todos os elementos da intersecção de A com B.

$2k^{3}-3k^{2}+2 = r^{2}+1$

$2k^{3}-3k^{2}+1 = r^{2}$

Fatorando:

$(k-1)^{2}(2k+1) = r^{2}$

Isso só será verdade se 2k +1 for um quadrado perfeito. Assim, os valores de 2k + 1 podem ser: ${1^{2}, 3^{2} , 5^{2} ,cdots, 63^{2}}$

Dessa forma: $n(Acap B ) = 32 + 1$ , o 1 foi somado pela solução (k,r) = (1,0).

Agora vamos achar os elementos da intersecção de A com C:

$2k^{3}-3k^{2}+2 = q^{2}+2$

$k^{2}(2k-3) = q^{2}$

Apenas se 2k-3 for um quadrado perfeito. Analogamente, os valores de 2k-3 podem ser ${1^{2}, 3^{2} , 5^{2} ,cdots, 63^{2}}$

Portanto:

$n(Acap C) = 32+1$ . somamos 1 pela solução (k,q) = (0,0).

Conclui-se que:

$y = n(acap B) - n(A cap C) = 33 - 33 = 0$

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