Questão 10

IME 2010

Matemática

[IME- 2010/2011 - 2ª fase]

Mostre que o determinante abaixo apresenta valor menor ou igual a 16 para todos valores de a, b e c, pertencentes ao conjunto dos números reais, que satisfazem a equação a² + b² + c² = 4.

$egin{vmatrix} a+b &b+c &c+a \ c+a & a+b & b+c\ b+c & c+a &a+b end{vmatrix}$

Gabarito:

Resolução:

$D = egin{vmatrix} 2(a+b+c) &b+c &c+a \ 2(a+b+c)&a+b &b+c \ 2(a+b+c)&c+a &a+b end{vmatrix} = 2(a+b+c) egin{vmatrix} 1 &b+c &c+a \ 1& a+b &b+c \ 1& c+a & a+b end{vmatrix}$

Desenvolvendo o determinante a partir do teorema de Jacobi:

$D = 2(a+b+c) egin{vmatrix} 1 &b+c &c+a \ 0& a-c &b-a \ 0& a-b & b-c end{vmatrix} = 2(a+b+c)(a^{2}+b^{2} + c^{2} - ab -bc -ac)$

$D = (a+b+c)(8-2ab-2bc-2ac)$

Consideremos agora a seguinte expressão:

$(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2} + c^{2} + 2(ab+bc+ac) I$

Da hipótese do problema e da equação acima:

$2ab + 2bc +2ac = (a+b+c)^{2}-4$

Assim:

$D = (a+b+c)[12 -(a+b+c)^{2}]$

Fazendo a + b + c = p:

$D = p (12-p^{2})$

$p(12-p^{2})leq 16$

$p^{3}-12 p +16 geq 0$

$p^{3} + 64 -12p - 48 geq 0$

$(p+4)(p-2)^{2}geq 0$

Nessa última igualdade, dado que $(p-2)^{2}geq 0$ , resta nos provar que $p + 4 geq 0$

Sabendo que:

$(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2}) - 2(ab + bc + ac)$

Como o primeiro membro é sempre positivo, temos:

$2a^{2} + 2b^{2}+2c^{2} - 2(ab+bc+ac)geq 0$

$2(ab + bc+ac) leq 2a^{2} +2b^{2}+2c^{2}$

Disso:

$(a+b+c)^{2}leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$p^{2}leq 12$

$p geq -2sqrt{3} ou p leq 2sqrt{3}$

Portanto: $p geq -2sqrt{3}$

$p geq -4$ o que completa a demonstração.

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