Questão 24

IME 2013

Física

[IME - 2013/2014 - 1a fase]

Considere um túnel retilíneo que atravesse um planeta esférico ao longo do seu diâmetro. O tempo que um ponto material abandonado sobre uma das extremidades do túnel leva para atingir a outra extremidade é

Dados:

constante de gravitação universal: G;
massa específica do planeta: ρ .

Consideração:

Para efeito de cálculo do campo gravitacional, desconsidere a presença do túnel.

Gabarito:

Resolução:

A força gravitacional é dada por:

$F = frac{GMm}{d^{2}}$

Dessa forma, podemos reescrever a massa do planeta como:

$M = ho cdot V = ho frac{4}{3} pi d^{3}$

É importante notar que apenas a massa do planeta contida numa esfera de raio igual a d produz força sobre o ponto material, portanto :

$F = frac{Gm }{d^{2}} cdot ho frac{4}{3} pi d^{3} = frac{4}{3} Gm ho pi d = kd$

O que foi feito é chamar a constante $frac{4}{3} Gm ho pi$ de k.

A igualdade $F = kd$ permite fazermos uma analogia com um sistema massa-mola em MHS, em torno do ponto d = 0, com amplitude igual ao raio R, tal que o período possa de maneira análoga ser expresso pela equação:

$T = 2pi sqrt{frac{m}{k}}$

$T = 2pi sqrt{frac{m}{frac{4}{3} Gm ho pi}}$

$T = 2 cdot sqrt{frac{3 pi}{4G ho}}$

O tempo para atingir a outra extremidade do túnel será obtida pela metade do período:

$T_{frac{1}{2}} = sqrt{frac{3 pi}{4G ho}}$

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