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Questão 7

IME 2013
Física

[IME- 2013/2014 - 2ª fase]

No interior de um ambiente submetido à pressão atmosférica, encontra-se um cilindro que contém 10 mL de um determinado gás ideal. Esse gás é mantido no interior do cilindro por um êmbolo móvel de área igual a 30 cm2, conforme apresentado na figura acima. Inicialmente a mola não exerce força sobre o êmbolo. Em seguida, o gás recebe uma quantidade de calor igual a 50% daquele rejeitado por uma máquina térmica, operando em um ciclo termodinâmico, cujas características técnicas se encontram listadas abaixo. Como consequência do processo de expansão, observa-se que a mola foi comprimida em 2 cm. O rótulo de identificação do gás está ilegível, mas sabe-se que existem apenas duas opções – o gás é hélio ou oxigênio. Baseado em uma análise termodinâmica da situação descrita, identifique o gás.

Dados: • temperaturas da fonte quente e da fonte fria da máquina térmica: 600 K e 450 K;

• razão entre o rendimento da máquina térmica e o do ciclo de Carnot associado: 0,8;

• quantidade de calor recebido pela máquina térmica: 105 J;

• constante da mola: 3 x 104 N/m ;

• pressão atmosférica: 1 kgf/cm2 ;

• 1 kgf = 10 N;

• peso do êmbolo: desprezível.

 

Gabarito:

Resolução:

Primeiramente, é necessário saber o calor recebido pelo gás, para um ciclo de Carnot:

eta _{carnot} = 1 - frac{T_{2}}{T_{1}} = 1 - frac{450}{600} = 1 - frac{3}{4} = frac{1}{4}

eta _{real} = 0,8 cdot eta _{carnot}

eta _{real} = frac{4}{5} cdot frac{1}{4} = frac{1}{5}

eta _{real} = 1 - frac{Q_{2}}{Q_{1}}

Igualando as duas equações:

frac{1}{5} = 1 - frac{Q_{2}}{Q_{1}}

frac{Q_{2}}{Q_{1}} = frac{4}{5} Rightarrow Q_{1}= frac{1}{2} Q_{2} = 42 J

Usando a primeira lei da termodinâmica:

Q = Delta U + (P_{0} A x + frac{kx^{2}}{2})

Perceba que o termo (P_{0} A x + frac{kx^{2}}{2}) representa o trabalho externo do gás:

W_{ext} = (P_{0} A x + frac{kx^{2}}{2})

W_{ext} = 10 cdot 30 cdot 2 cdot 10^{-2} + frac{3 cdot 10^{4} cdot (2 cdot 10^{-2})^{2}}{2} = 12 J

Portanto:

42 = Delta U + 12 Rightarrow Delta U = 30 J

Observe que:

V_{0} = 10 mL = 10 cm^{3}

Delta V = A cdot L = 30 cdot 2 = 60 cm^{3}

Ainda:

P = P_{0}

p = P_{0} + frac{Kx}{A} = 10 ^{5} + frac{3 cdot 10^{4} cdot 2 cdot 10^{-2}}{30 cdot 10^{-4}} = 3 cdot 10^{5} N/m^{2}

p = 3 P_{0}

Pela equação dos gases:

frac{PV}{T} = frac{p cdot V} {T}

frac{10^{5} cdot 10}{T} = frac{3 cdot 10^{5}}{T}

t = 21 T

Delta T = 20 T

Como  U = n C_{v} T e P cdot V = nRT

Delta U = n C_{v} Delta T

Dividindo Delta U por PV:

frac{nC_{v} Delta T}{nRT} = frac{C_{v} Delta T}{R cdot T}

Lembre que P cdot V = 10 ^{5} 10 cdot 10^{-6} = 1

frac{30}{1} = frac{C_{v}}{R} cdot frac{20T}{T}

frac{C_{v}}{R} = frac{3}{2}

 

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