Questão 49231

IME 2013

Física

[IME - 2013/2014 - 1a fase]

Considere duas fontes pontuais localizadas em (0, - a/2) e (0, a/2), sendo λ o comprimento de onda e a = √2λ. Em coordenadas cartesianas, o lugar geométrico de todos os pontos onde ocorrem interferências construtivas de primeira ordem é

Gabarito:

Resolução:

A diferença de caminho entre as duas ondas será dada, na interferência construtiva, por:

$Delta x = mlambda$

Com m par.

Para a interferência construtiva de primeira ordem, teremos m -1.

Portanto:

$Delta x = || (x,y) - (0, frac{a}{2}) || - || (x,y) - (0, -frac {a}{ 2}) = lambda$

Seja (x,y) um ponto genérico do espaço, note que a equação acima é o lugar geométrico dos pontos (x,y), tal que a subtração entre as distâncias de (x,y) aos outros pontos seja numericamente igual à constante $lambda$ .

Portanto, trata-se da equação característica de uma hipérbole, cujos focos são (0, -a/2) e (0, a/2).

Sendo (0, A) e (0, -A) os vértices da hipérbole e sabendo que o ponto (0, -A) é um ponto de interferência construtiva, isto é, pertence ao gráfico, então:

$Delta x = frac{a}{2} + A - (frac{a}{2} - A) = lambda$

$frac{a}{2} + A - (frac{a}{2} - A) = lambda$

$A = frac{lambda}{2}$

Perceba:

$C = frac{a}{2}$

$C = frac{sqrt{2} lambda}{2}$

E ainda $B^{2} = C^{2} - A^{2}$ onde C representa a distância do foco até a origem.

ASsim:

$B^{2} = frac{2 lambda ^{2}}{4} - frac{lambda^{2}}{4}$

$B = frac{lambda}{2} = A$

A hipérbole será analiticamente descrita pela seguinte equação:

$frac{y^{2}}{frac{lambda^{2}}{4}} - frac{x^{2}}{frac{lambda^{2}}{4}} = 1$

$oxed {y^{2} - x^{2} = frac{lambda^{2}}{4}}$

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