Questão 2
IME 2013
[IME- 2013/2014 - 2ª fase]
Dois músicos com seus respectivos violões afinados participam de um dueto. No início do concerto, é ligado um aparelho de ar condicionado próximo a um deles e, após alguns minutos, percebe-se uma frequência de batimento produzida pela quinta corda dos violões, no modo fundamental. Considerando que ambas as cordas permaneçam com o comprimento inicial L0, determine a variação de temperatura sofrida pela corda do violão próximo ao ar condicionado.
Dados:
• constante elástica da corda: k;
• massa específica linear da corda: µ;
• coeficiente de dilatação linear: α;
• frequência da quinta corda do violão afinado: f.
Observação:
• despreze o efeito da temperatura no outro violão.
Gabarito:
Resolução:
Partindo da relação: , com F a força que é exercida sobre a corda, quando tocada, usamos, também, a fórmula
para poder achar uma relação entre a frequência e o comprimento:
Como a corda é tocada em seu primeiro harmônico, então o seu comprimento de onda será igual a 2L0. Dessa forma:
Para a corda que não está perto do ar condicionado, a força F é igual à força elástica exercida, ou seja, o produto de k com a variação de comprimento da corda (Δx). Assim:
Para a corda que está perto do ar condicionado, a variação de temperatura faz com que haja, também, uma variação no comprimento (apesar de não ter variação no comprimento inicial, como indicado pelo enunciado). Com isso, quando a corda é tocada, a variação total, que será proporcional à força elástica, será de Δx + ΔL! Dessa forma, fazemos:
Igualando as relações I e II:
Sabendo que a frequência de batimento é igual à diferença entre f' e f, podemos fazer:
Com isso, utilizando a fórmula de dilaração térmica, para relacionar ΔL com a variação de temperatura (Δθ) e o coeficiente de dilatação linear (α):
Com isso, relacionando IV com V: