Questão 1

IME 2014

Matemática

[IME - 2014/2015 - 1a fase]

Os lados a, b e c de um triângulo estão em PA nesta ordem, sendo opostos aos ângulos internos , e , respectivamente. Determine o valor da expressão:

Gabarito: 2

Resolução:

Seja r a razão da PA ( a , b , c ) formada pelos lados do triângulo. Assim podemos fazer a = b - r e c = b + r. Da lei dos senos e das propriedades de proporções vem:

$frac{b}{sebB}=frac{b-r}{senA}=frac{b+r}{senC}=frac{(b-r)+(b+r)}{senA+senC}$ de onde:

$frac{b}{senB}=frac{2b}{senA+senC}$ de onde:

Simplificando e observando que $senB=2cdot senfrac{B}{2}cdot cosfrac{B}{2}$ e que $senA+senC=2cdot sen(frac{A+C}{2})cdot cos(frac{A-C}{2})$ , vem:

$frac{1}{2cdot senfrac{B}{2}cdot cosfrac{B}{2}}=frac{2}{2cdot senfrac{(A+C)}{2}cdot cosfrac{(A-C)}{2}}$

Como $A+C=180-B$ , segue que $senfrac{(A+C)}{2}=sen(90-frac{B}{2})=cosfrac{B}{2}$ Portanto:

$frac{1}{senfrac{B}{2}cdot cosfrac{B}{2}}=frac{2}{cosfrac{B}{2}cdot cosfrac{(A-C)}{2}}$

Simplificando e observando que $senfrac{B}{2}=senfrac{(180-A-C)}{2}=sen(90-frac{(A+C)}{2})=cosfrac{(A+C)}{2}$ , temos:

$frac{1}{cos(frac{A+C}{2})}=frac{2}{cos(frac{A-C}{2})}Leftrightarrow frac{cosfrac{(A-C)}{2}}{cosfrac{(A+C)}{2}}=2$

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